Základy teorie pravděpodobnosti – Náhodné veličiny

Teorie pravděpodobnosti - matematická disciplína, která se zabývá studiem zákonitostí náhodných jevů.

 

- Náhodný experiment (pokus) - není možno dopředu určit výsledek (například: hod kostkou) - Náhodný jev (událost) - výsledek náhodného experimentu (například: padne 4) - všechny důsledky výsledku(padlo číslo sudé, dělitelné dvěma atd..)

 

Podmínky mezi náhodnými událostmi

1. Jistá událost (J popř. I) – událost, která nastane po každém experimentu; např. padnutí nejvýše 6 teček

2. Nemožná událost (0) - – událost, která nenastane nikdy; např. padnutí více než 6 teček

3. Opačná událost – událost, která nastane když nenastane událost A; např. A: sudé pak : liché

4. Událost A je částí události B - nastane-li událost A, nastane také událost B; např. A: padne 6 teček B: padne sudý počet teček

5. Události A a B jsou rovnocenné (A=B) - nastane-li událost A, nastane také událost B a naopak; např. A: padne 2,4,6 B: padne sudý počet teček

6. Průnik událostí A a B (A.B) – nastane-li současně A i B; např. A: padne sudý počet teček B: padne méně než 3 tečky pak průnikem událostí je padnutí 2 teček

7. Sjednocení událostí A a B (A+B) nebo - nastane-li alespoň jedna z událostí A a B; např. A: padne sudé, B: padne méně jak 3 tečky - sjednocením je pak padnutí : 1, 2, 4, 6 teček

8. Rozdíl událostí A a B (A-B) nebo (A\B) - nastane-li současně A a zároveň nenastane B; např. A: padne sudé, B: padne 5 nebo 6 teček - rozdílem událostí je pak padnutí : 2 nebo 4 teček

9. Události A a B jsou neslučitelné (disjunktní) - nemohou-li současně nastat události A a B; např. A: padnou nejvíce 3 tečky B: padne nejméně 5 teček

10. Elementární událost : - pokud platí: při každém vykonaném experimentu jeden z výsledků experimentu vždy nastane a jestli jeden z výsledků nastane, pak už jiný výsledek nemůže nastat; např. padnutí 6 teček při jednom hodu kostkou

11. Úplná soustava neslučitelných událostí (jevů) A1 + A2 + ….. An = I

Algebraické zákony pro práci s náhodnými událostmi

 

 

Používáme ji v případech, které lze převést na toto schéma: V rovině (popř. na přímce nebo v prostoru) je dána určitá uzavřená oblast Ω a v ní další uzavřená oblast Δ. Má se určit pravděpodobnost jevu A, který záleží v tom, že bod zvolený namátkou v uzavřené oblasti Ω leží také v uzavřené oblasti Δ. Přitom se předpokládá, že pravděpodobnost volby bodu v libovolné části uzavřené oblasti Δ je přímo úměrná míře této části, ale nezávisí na tvaru ani na poloze této části v uvažované uzavřené oblasti Ω.

Označíme-li míry uzavřených oblastí Δ a Ω symboly |Δ|, |Ω|, definujeme pravděpodobnost